پروانه هافستادتر، کشفی انقلابی در دنیای کوانتومی پس از ۵۰ سال

دانشمندان دانشگاه پرینستون کشفی انقلابی در مواد کوانتومی انجام داده‌اند و نشان داده‌اند که سطوح انرژی الکترون‌ها در برخی سیستم‌ها از الگوی فراکتالی به نام «پروانه هافستادتر» پیروی می‌کنند.
این پدیده ابتدا در سال ۱۹۷۶ توسط دوگلاس هافستادتر نظریه‌پردازی شد، اما تاکنون هرگز به طور مستقیم در یک ماده واقعی مشاهده نشده بود. این کشف نتیجه غیرمنتظره‌ای از آزمایشی بود که روی ابررسانایی در گرافن با الگوی مواره
(moiré-patterned graphene) انجام شد، جایی که یک ناترازی اتفاقی شرایط ایده‌آلی برای مشاهده طیف انرژی فراکتالی پنهان ایجاد کرد.

الگو‌های فراکتالی در مواد کوانتومی
یک تیم از دانشمندان دانشگاه پرینستون توانستند سطوح انرژی الکترون‌ها را در نوعی جدید از مواد کوانتومی اندازه‌گیری کنند و کشف کنند که این سطوح از الگوی فراکتالی پیروی می‌کنند. فراکتال‌ها ساختار‌هایی هستند که در مقیاس‌های مختلف به یک شکل تکرار می‌شوند و در طبیعت به وفور دیده می‌شوند، مانند بلور‌های برف، سرخس‌ها و خطوط ساحلی. در دنیای کوانتومی، الگوی مشابهی به نام «پروانه هافستادتر» وجود دارد که در سال ۱۹۷۶ پیش‌بینی شد. حالا برای اولین بار، محققان این الگو را به طور مستقیم در یک ماده واقعی مشاهده کرده‌اند.

شکستن مرز‌ها در مهندسی مواد
به گزارش scitechdaily، این شکستن مرز‌ها به لطف پیشرفت‌هایی در مهندسی مواد امکان‌پذیر شد. محققان دو لایه از گرافن (ورقه‌هایی از اتم‌های کربن که در الگوی شش‌ضلعی مرتب شده‌اند) روی هم قرار دادند و آنها را کمی چرخاندند، الگوی تداخلی تکرارشونده‌ای به نام «مواره» ایجاد کردند که شبیه بافت لایه‌ای برخی پارچه‌های فرانسوی است.
علی یزدانی، استاد دانشگاه پرینستون و رئیس تیمی که از تکنیک قدرتمند میکروسکوپی کوانتومی برای مطالعه این مسئله استفاده کرد، گفت: «بلور‌های مواره محیطی ایده‌آل برای مشاهده طیف هافستادتر فراهم کردند وقتی الکترون‌هایی که در آنها حرکت می‌کردند تحت میدان مغناطیسی قرار گرفتند. این مواد به طور گسترده مطالعه شده‌اند، اما تاکنون خودشباهتی (self-similarity) طیف انرژی این الکترون‌ها از دسترس خارج بود.»

فرکتال کوانتومی
تیمی از دانشمندان دانشگاه پرینستون انرژی الکترون‌ها را در کلاس جدیدی از مواد کوانتومی اندازه‌گیری کردند و دریافتند که این انرژی‌ها از الگوی فراکتالی پیروی می‌کنند. فراکتال‌ها الگو‌هایی خودتکرارکننده هستند که در مقیاس‌های مختلف ظاهر می‌شوند و در طبیعت در محیط‌های مختلفی دیده می‌شوند، از جمله بلور‌های برف، سرخس‌ها و خطوط ساحلی. تصویر زیر نسخه کوانتومی از یک الگوی فراکتالی به نام «پروانه هافستادتر» را نشان می‌دهد که مدت‌ها پیش‌بینی شده بود، اما این مطالعه نشان‌دهنده اولین باری است که این الگو به طور مستقیم در یک ماده واقعی مشاهده شده است.
(تصویر: گروه یزدانی)

پروانه هافستادتر، یک فراکتال کوانتومی
پروانه هافستادتر نماینده یافته اصلی مقاله بنیادین سال ۱۹۷۶ توسط دوگلاس هافستادتر است. در این کار، او پیش‌بینی کرد که سطوح انرژی الکترون‌هایی که در بلور‌های دوبُعدی تحت تأثیر میدان مغناطیسی قوی قرار دارند، طیف انرژی فراکتالی مشخصی نشان خواهند داد. علت نام‌گذاری این الگو به «پروانه» این است که الگوی حاصله، وقتی نسبت به انرژی و میدان مغناطیسی رسم شود، پیکربندی ظریف و پیچیده‌ای ایجاد می‌کند که شبیه بال‌های یک پروانه است.
این الگوی پروانه‌ای یک فراکتال است، به این معنی که الگویی خودتکرارکننده است که در مقیاس‌های مختلف تولید می‌شود. در حالی که نمونه‌های زیادی از فراکتال‌ها در طبیعت وجود دارند—مانند خطوط ساحلی و بلور‌های برف—فراکتال‌های کمی در دنیای کوانتومی یافت می‌شوند.
کوین ناکولز، نویسنده اصلی مقاله که یافته‌های تیم در شماره اخیر مجله Nature منتشر شده است، گفت: «پروانه هافستادتر نیز نمونه نادری از مسئله‌ای است که در مکانیک کوانتومی بدون هیچ تقریبی حل شده است.» وی افزود: «از زمان کار اصلی هافستادتر، آزمایش‌ها و مقالات شگفت‌انگیز زیادی در این زمینه انجام شده است، اما قبل از کار ما، هیچ‌کس این طیف زیبا را به طور مستقیم مشاهده نکرده بود.»

نمودار فراکتال کوانتومی
محاسبه نظری سطوح انرژی مجاز الکترون‌ها در گرافن دولایه پیچیده در میدان مغناطیسی. این سطوح انرژی مجاز (نقاط سیاه) نمونه نادری از فراکتال کوانتومی به نام "پروانه هافستادتر" هستند که ویژگی‌های خودتکرارکننده در مقیاس‌های مختلف نشان می‌دهند. این نمودار نشان می‌دهد که انرژی‌ها (محور عمودی) الکترون‌ها به عنوان تابعی از میدان مغناطیسی (محور افقی) تغییر می‌کنند و به باند‌های الکترونی هافستادتر (مناطق رنگی) تقسیم می‌شوند که برای اولین بار به طور مستقیم مشاهده شدند.

یک کشف شگفت‌انگیز اتفاقی
در واقع، محققان در ابتدا قصد مشاهده این پدیده پیچیده را نداشتند. ناکولز اعتراف کرد: «ما قصد این کار را نداشتیم؛ و کشف ما اساساً یک اتفاق بود»
دیلون ونگ، پسا دکترای تحقیقاتی گفت: «به جای آن، محققان در حال انجام آزمایشی برای بررسی ابررسانایی در گرافن دولایه پیچیده بودند.»
در سال ۲۰۱۸، یک تیم در مؤسسه فناوری ماساچوست (MIT) کشف کرد که الکترون‌های محبوس در این بلور‌های مواره ابررسانا می‌شوند، حالتی که در آن الکترون‌ها بدون هیچ مقاومتی جریان می‌یابند. از آن زمان، گروه یزدانی و بسیاری دیگر در سراسر جهان سعی کرده‌اند طبیعت ابررسانایی در این مواد را درک کنند.
ونگ ادامه داد: «هدف ما مطالعه ابررسانایی بود، اما زمانی که این نمونه‌ها را می‌ساختیم، زاویه جادویی را از دست دادیم.»
این اشتباه باعث ایجاد الگوی مواره با دوره تناوبی طولانی‌تر از آنچه آزمایشگران قصد داشتند شد، اما نتایج دقیقا همان چیزی بود که برای مشاهده طیف هافستادتر نیاز بود.
یزدانی گفت: «این طیف وابستگی خاصی به میدان مغناطیسی دارد که تنها زمانی می‌توان آن را تأیید کرد که شرایط آزمایشگاهی برای حرکت الکترون‌ها در یک پتانسیل پریودیک کامل با دوره تناوب طولانی فراهم شود، که در این نمونه‌های اتفاقی ایجاد شد.»

میکروسکوپ تونل‌زنی روبشی
تیم از یک میکروسکوپ تونل‌زنی روبشی (STM) برای تصویربرداری از بلور‌های مواره در وضوح اتمی و بررسی سطوح انرژی الکترون‌ها استفاده کرد. این میکروسکوپ با آوردن یک نوک فلزی تیز به فاصله کمتر از یک نانومتر از سطح کار می‌کند تا امکان «تونل‌زنی» کوانتومی الکترون‌ها از نوک به نمونه فراهم شود. وقتی از STM برای مطالعه نمونه استفاده می‌شد، رفتار حاصله الکترون‌ها الگویی را نشان داد که محققان ابتدا آن را به عنوان پروانه هافستادتر تشخیص ندادند، اما به عنوان چیزی منحصر‌به‌فرد شناختند. به زودی، هنگامی که الگو را به جزئیات بیشتری تحلیل کردند، دریافتند که دقیقاً به الگویی که هافستادتر حدود پنجاه سال پیش پیش‌بینی کرده بود، نگاه می‌کنند.
ناکولز اظهار کرد: «گاهی طبیعت چیز‌های فوق‌العاده‌ای برای تماشا به شما می‌دهد، اگر متوقف شوید و به آن نگاه کنید. STM برای این آزمایش بسیار حیاتی بود، زیرا این ابزار به ویژه به انرژی الکترون‌ها در مواد حساس است.STM یک پروب مستقیم انرژی است که به ما کمک می‌کند به محاسبات اصلی هافستادتر بازگردیم، که محاسباتی از سطوح انرژی بودند.
میونگچول اوه، پسا دکترای تحقیقاتی گفت: «مطالعات قبلی روی پروانه هافستادتر بر اساس اندازه‌گیری مقاومت الکتریکی بودند که انرژی را اندازه‌گیری نمی‌کردند.»

بینش‌های جدید در تعاملات الکترونی
اگرچه این تحقیق ممکن است کاربرد‌های عملی به همراه نداشته باشد، حداقل نه به طور فوری، اما این کار ویژگی‌هایی از طیف هافستادتر را آشکار کرد که برای تحقیقات فیزیک بنیادی جالب هستند. محققان دریافتند که مدل‌سازی نظری طیف بهبود می‌یابد اگر پدیده‌هایی که مربوط به تعاملات بین الکترون‌ها هستند را شامل شوند، ویژگی مهمی که در محاسبات اصلی هافستادتر از قلم افتاده بود. شامل کردن تأثیر این تعاملات دشوار است و آزمایش‌ها به ویژه در درک نسخه چند-الکترونی این مسئله ارزشمند می‌شوند. تیم آزمایشی به طور نزدیک با تیم نظری تحت رهبری پروفسور بیائو لیان از بخش فیزیک و دانشجویان او کار کردند که نویسندگان مشترک این مقاله هستند. 
مایکل شیر، دانشجوی دکترا در فیزیک دانشگاه پرینستون گفت: «رژیم هافستادتر طیف غنی و پرجنب‌وجوشی از حالت‌های توپولوژیکی است و فکر می‌کنم توانایی تصویربرداری از این حالت‌ها می‌تواند راهی قدرتمند برای درک خواص کوانتومی آنها باشد.»