قضیه فیثاغورث
با سفر به دنیای باستان، پرده از رازهای فیثاغورث و قضیه مشهورش برمی‌داریم. آیا او واقعاً نخستین کسی بود که این رابطه را کشف کرد؟ چرا این قضیه برای فیثاغورث و پیروانش اهمیت داشت؟ سرنوشت فیثاغورثیان چه شد و چرا برخی باور دارند که این گروه قربانی حقیقت‌جویی خود شدند.
قضیه فیثاغورث، یکی از اساسی‌ترین اصول ریاضی، هزاران سال است که نقش مهمی در درک ما از جهان ایفا کرده است. هر دانش‌آموزی که دوران مدرسه را گذرانده باشد، نام فیثاغورث را شنیده و شاید بارها با رابطه معروف «آ به توان دو بعلاوه بی به توان دو برابر است با سی به توان دو» کار کرده باشد. اما آیا تا به حال به این فکر کرده‌ایم که این قضیه چه تأثیری بر تاریخ، فرهنگ، هنر و حتی زندگی روزمره ما گذاشته است؟ آیا فیثاغورث واقعاً کاشف این قضیه بوده یا پیش از او نیز بشر به این اصل هندسی پی برده بود؟
اگر به این اپیزود از پادکست ترمینولوژی تا پایان گوش دهید متوجه می‌شوید چه کسی رابطه بین اضلاع مثلث قائم‌الزاویه را به فیثاغورث یاد داد، هدف فیثاغورث از اثبات این رابطه چه بود، و چه بلایی بر سر پیروان فیثاغورث آمد.
در قسمت جدید پادکست ترمینولوژی، سه استاد برجسته ریاضیات، دکتر حسین نراقی، دکتر بهروز دانشیان، و دکتر حسن حقیقی، به بررسی ابعاد گوناگون این قضیه پرداخته‌اند. آن‌ها نه تنها به مفهوم ریاضی آن، بلکه به تأثیرات تاریخی، فلسفی و حتی جنبه‌های جالب و کمتر شناخته‌شده آن در زندگی بشر پرداخته‌اند.
قضیه‌ای که قبل از فیثاغورث هم وجود داشت
بر اساس شواهد تاریخی، قضیه فیثاغورث پیش از زمان خود فیثاغورث شناخته شده بود. اسناد باستانی نشان می‌دهند که بابلی‌ها و مصری‌ها هزاران سال پیش از میلاد از روابط هندسی مشابه در ساخت‌وساز و اندازه‌گیری استفاده می‌کردند. به عنوان مثال، روی یک لوح گلی مربوط به تمدن بابل که قدمت آن به حدود ۱۸۰۰ سال قبل از میلاد می‌رسد، جداولی دیده شده که اعداد فیثاغورثی را نشان می‌دهد. این موضوع نشان می‌دهد که این قضیه، پیش از اثبات رسمی آن توسط فیثاغورث، به طور عملی مورد استفاده قرار می‌گرفت.
اما چرا این قضیه به نام فیثاغورث ثبت شده است؟ دلیل اصلی این است که او و پیروانش، که به فیثاغورثیان مشهور بودند، برای نخستین بار این رابطه را به‌طور سیستماتیک بررسی کرده و اثباتی منطقی برای آن ارائه دادند.
از هندسه تا دنیای واقعی: چرا این قضیه مهم است؟
قضیه فیثاغورث نه تنها در ریاضیات، بلکه در بسیاری از زمینه‌های علمی و کاربردهای روزمره نقش اساسی دارد. برای مثال:
- معماری و مهندسی: از ساخت‌وساز بناهای تاریخی مانند اهرام مصر گرفته تا طراحی مدرن آسمان‌خراش‌ها، این قضیه برای محاسبات زاویه‌ها و ارتفاع‌ها ضروری است.
- فیزیک و نجوم: در مطالعه فضا و تعیین فواصل بین اجرام آسمانی، این رابطه نقش کلیدی دارد.
- گرافیک کامپیوتری و انیمیشن: در برنامه‌نویسی سه‌بعدی و بازی‌های ویدیویی برای محاسبه موقعیت اشیا در فضا استفاده می‌شود.
- موقعیت‌یابی وGPS: سیستم‌های مکان‌یابی جهانی (GPS) از محاسبات مبتنی بر این قضیه برای تعیین دقیق موقعیت استفاده می‌کنند.
حتی در زندگی روزمره، بدون آنکه متوجه باشیم، از این قضیه استفاده می‌کنیم. مثلاً وقتی می‌خواهیم کوتاه‌ترین مسیر را بین دو نقطه پیدا کنیم یا زاویه یک نردبان را با زمین تنظیم کنیم، ناخودآگاه در حال استفاده از این اصل هندسی هستیم.
فیثاغورث: یک ریاضیدان یا یک فیلسوف؟
فیثاغورث تنها یک ریاضیدان نبود، بلکه یک فیلسوف، متفکر و حتی یک رهبر معنوی بود. او و پیروانش باور داشتند که جهان بر اساس اصول ریاضی ساخته شده و اعداد دارای ویژگی‌های ماورایی هستند. آن‌ها اعتقاد داشتند که شناخت اعداد، کلید درک حقیقت هستی است.
در واقع، تأثیر فیثاغورثیان بر فلسفه چنان عمیق بود که حتی فیلسوفانی چون افلاطون و ارسطو نیز تحت تأثیر آن‌ها قرار گرفتند. افلاطون در مکتب خود، ایده‌آلیسم را با مفاهیم عددی ترکیب کرد و اعتقاد داشت که ریاضیات یکی از راه‌های درک حقیقت مطلق است.
هندسه اقلیدسی و نااقلیدسی: گسترش مفاهیم ریاضی
یکی از موضوعات جذاب در این اپیزود پادکست، بحث درباره ارتباط قضیه فیثاغورث با هندسه اقلیدسی و هندسه نااقلیدسی است. هندسه اقلیدسی، همان هندسه‌ای است که در مدرسه آموخته‌ایم؛ دنیایی که در آن خطوط موازی هرگز به هم نمی‌رسند و مجموع زوایای داخلی یک مثلث همیشه ۱۸۰ درجه است.
اما در قرن نوزدهم، ریاضیدانان دریافتند که این اصول همیشه هم صادق نیستند. در فضاهای خمیده، مانند سطح یک کره، خطوطی که در ابتدا موازی هستند، ممکن است در نهایت به هم برسند. این مفاهیم درک ما از جهان را تغییر دادند و نقش مهمی در نظریه نسبیت اینشتین ایفا کردند.
عدد ۱۳ و یک باور قدیمی!
یکی از جالب‌ترین نکاتی که در این اپیزود مطرح می‌شود، ارتباط بین فیثاغورث و باورهای خرافی است. جالب است بدانید که ترس از عدد ۱۳ (که در بسیاری از فرهنگ‌ها به عنوان عددی نحس شناخته می‌شود) ریشه در عقاید فیثاغورثیان دارد. آن‌ها عدد ۱۰ را کامل‌ترین عدد می‌دانستند، زیرا برابر با مجموع چهار عدد اول (۱+۲+۳+۴) بود و اعتقاد داشتند که هر چیزی فراتر از آن، تعادل را بر هم می‌زند. عدد ۱۳ به دلیل آنکه از ۱۰ فراتر می‌رفت، به عنوان عددی ناپایدار و نامیمون تلقی می‌شد.
نتیجه‌گیری
قضیه فیثاغورث بیش از آنکه صرفاً یک فرمول ریاضی باشد، پلی است میان تاریخ، فلسفه، علم و زندگی روزمره. از ساختمان‌های باستانی گرفته تا فناوری‌های مدرن، ردپای این قضیه را می‌توان در همه جا یافت. در این اپیزود از پادکست ترمینولوژی، سعی کرده‌ایم تا پرده از ابعاد ناشناخته این قضیه برداریم و نشان دهیم که چگونه یک اصل هندسی ساده توانسته بر تفکر بشری تأثیر بگذارد.
آیا تا به حال به این فکر کرده‌اید که کدام مفاهیم ریاضی دیگر، بدون آنکه بدانیم، در زندگی روزمره ما حضور دارند؟ شما چه مثال‌هایی از کاربردهای این قضیه در زندگی روزمره سراغ دارید؟
مهمانان این قسمت
- دکتر بهروز دانشیان: دکتری ریاضی کاربردی از دانشگاه آزاد واحد علوم و تحقیقات
- دکتر حسن حقیقی: دانشیار دانشگاه خواجه نصیرالدین طوسی
- دکترحسین نراقی: عضو هیئت علمی دانشگاه پیام نور
تهیه شده در گروه محتوا و رسانه‌های نو در خبرگزاری دانشگاه آزاد (آنا)
قطعات موسیقی به کاررفته
The Great by ArcTristan Barton
Orientative • Music Vine
Best of Epic •thaekanir • Music Vine
tunetank.com_۶۴۷۰_tango-parisien_by_vislevski
tunetank.com_۵۶۲۹_poltergeist_by_blvcknoize
از اینجا گوش کنید:
به سایر قسمت‌های «ترمینولوژی» گوش کنید:
یادگیری عمیق| هورمون| میراگر | عدد پی| ابررسانایی | پلانکتون
عوامل تولید
نویسنده: الهه رزاقی‌ها
راوی: ستاره مرادی
هماهنگی تولید و ثبت تایم کد: حانیه محبی‌زاده
پیاده‌سازی گفتگو‌ها: الهه بهاری
تدوین، انتخاب موسیقی و مسترینگ صوت: سعید الله‌مرادپور
طراحی لوگو: سید محمد حسن‌زاده علوی‌نژاد
طراح تصویر نمایه (thumbnail): علیرضا مهاجری
عکس: علی احمدوند و عباس تاجیک يار
صدابردار: عارف نظری
تصویربردار: عرشیا قادری
ویراستار و مشاور سناریو: محمد وحیدی
محتوای سوشال: نعیمه کرابی
مشاور تولید: مهندس علی ورمزیار
بازنویس سناریو، تهیه کننده و کارگردان: یاسر نظیفی گیلوان
متن پیاده شده پادکست:
حقیقی: اهمیت مثلث قائم الزاویه در این بود که زمین نیرویی که به شی هایی وارد می کنه عمود بر سطح زمین هست.
دانشیان: جناب فیثاغورث.
نراقی: قبل از اینکه فیثاغورث اونو اثبات کنه، مطرح شده بود.
راوی: سلام. شاید شما هم مثل من اسم فیثاغورث رو شنیده باشید. یعنی هر کسی که مدرسه رفته احتمالا یادش میاد که یه چیزیایی تو ریاضی به نام فیثاغورث ثبت شده. قضیه فیثاغورث یه رابطه جبری بین اضلاع یه مثلث قائمه رو تشریح میکنه. اما جالبه بدونید که آثار باستانی به جا مونده از زمانهای خیلی دور نشون میدن که بشر حتی قبل از تولد فیثاغورث هم به وجود این رابطه پی برده بوده. اما به هر حال سند به نام فیثاغورث خورده. این قضیه ریاضی از هزاران سال پیش نه تنها بر علم، بلکه بر فرهنگ، هنر و تاریخ بشری هم اثر گذاشته.
راوی: به طور کلی قضیه فیثاغورث یکی از پایه های اساسی ریاضیاته. نه تنها به عنوان یه ابزار کارآمد برای حل مسائل هندسی استفاده میشه بلکه میتونه برای خیلی از مفاهیم پیشرفته تر در علوم مختلف بکار گرفته بشه. در واقع این قضیه یه ارتباط قوی بین مفاهیم جبر و هندسه برقرار میکنه که تعامل بین اعداد و اشکال هندسی رو نشون میده.
راوی: من ستاره مرادی هستم و در این قسمت از پادکست ترمینولوژی میریم سراغ قضیه فیثاغورث و سعی می‌کنیم یه خورده عمیق‌تر درباره اون صحبت کنیم: چطور قضیه فیثاغورث وارد زندگی و تاریخ بشر شده؟ چطور ممکنه یه قضیه از ۲۵۰۰ سال پیشه انقدر تو زندگی انسان تاثیر گذاشته باشه؟
معرفی مهمان‌ها
سوپرکات صدای نراقی: فروشنده کتاب گفت به درد تو نمی خوره و نذاشت بخرم.
سوپرکات صدای نراقی: گفت تازه از زندان اومدم.
سوپرکات صدای نراقی: معلمان منو می آوردن پای تخته.
راوی: در این اپیزود سه متخصص حوزه ریاضیات مهمان ما هستن.
نراقی: دبیرستان همین قضیه فیثاغورث رو درس می دادیم به کمک فیثاغورث اعداد گنگ رو روی محور نشون می دادن. اینجا با اعداد گنگ آشنا شدیم. بعد از معلمم پرسیدم که قبلا می گفتیم اعداد صحیح، بعد شد گویا و بعد شد گنگ. گفتم اعداد دیگه ای وجود نداره گفت چرا. اعداد مختلط و اعداد موهومی که به درد شما نمی خوره. شما دبیرستانی هستی و ان شاءالله در مقطع دکترا. ولی من کنجکاو بودم بدونم چه خبره. رفتم انقلاب کتاب بخرم. فروشنده کتاب گفت به درد تو نمی خوره و نذاشت بخرم. ناراحت بودم. اتفاقا با یکی از دوستام توی اتوبوس نشسته بودیم و بحث می کردیم که این چیه. یک نفر اونجا نشسته بود. توی اتوبوس روی شیشه اتوبوس در مورد اعداد مختلط به ما توضیح داد. من خوشحال شدم. گفتم داستان شما چیه. گفت تازه از زندان اومدم.
راوی: صدایی که شنیدید صدای دکتر حسین نراقی یکی از میهمانای این اپیزود ماست. ایشون متولد ۱۳۵۶ در تهران هست.
نراقی: حسین نراقی هستم. فارغ التحصیل دانشگاه تربیت معلم سابق و یا خوارزمی در مقطع لیسانس، ارشدم رو دانشگاه تربیت مدرس قبول شدم و دکترا هم دانشگاه پیام نور. دلیل اینکه رشته ریاضی اومدم درس ریاضی ام خوب بود. معلمان منو می آوردن پای تخته. درسو مخصوصا مثلثات رو به من واگذار می کردن.
راوی: خب میریم سراغ مهمون بعدیمون؛ دکتر دانشیان.
دانشیان: بهروز دانشیان هستم و این افتخار رو پیدا کردم در خدمتتون باشم برای پاسخ دادن در مورد یک شخصیت اسطوره ای ریاضیات و فلسفه؛ جناب فیثاغورث.
راوی: بهروز دانشيان متولد ۱۳۴۷ در شهر خوی هست و مدرک کارشناسی رو از دانشگاه فردوسی مشهد گرفته و کارشناسی ارشد رو از دانشگاه آزاد اسلامی واحد لاهیجان. و بعدن موفق به اخذ مدرک دکتری از دانشگاه آزاد اسلامی واحد علوم و تحقیقات شده. در همه این مقاطع هم رشته‌اشون ریاضی کاربردی بوده.
دانشیان: امروز ما در دوره طلایی ریاضیات هستیم و شاهد شکوفایی این علم هستیم که در بستر نبوغ و تلاش های ریاضی دانان خیلی بزرگی بنا شده که امروز ما قصد داریم یکی از اونها رو معرفی کنیم خدمتتون.
راوی: مهمان بعدی ما دکتر حسن حقیقی هستن.
حقیقی: عمده زندگی رو در تهران گذروندم. اهل سرچشمه خوانسار اصفهان هستم. تابستون ها خوانسار می رفتم. اونجا دو تا دوست داشتم. اونجا اوقات فراغت زیادی بود که با ایشون در حد اطلاعات دبیرستانی در مورد ریاضیات صحبت می کردیم. من توی سالهای اخر دبیرستان به خاطر مهارتی که در حل مسائل ریاضی داشتم به ریاضی علاقه مند شدم. من در رشته ریاضی دانشگاه تهران قبول شدم.
راوی: حسن حقیقی ورودی سال ۵۵ رشته ریاضی محض دانشگاه تهرانه. تو کارشناسی ارشد به گرایش جبر پرداختن و تو دوره دکتری در زمینه هندسه جبری فعالیت کردن. الان هم عضو هیئت علمی دانشگاه صنعتی خواجه نصیر هستن. ایشون هم مثل خیلی دیگه از افراد شاغل در حوزه ریاضیات با این پرسش سروکار داشتن که بالاخره ریاضی محض یا ریاضی کاربردی؟
حقیقی: چون دائما از خودم سوال می کردم که ریاضی به چه دردی می خوره؟ کجاها کاربرد داره؟ به هر حال دیدم که ریاضی محض غنای بیشتری داره و لذت بیشتری به آدم می ده تا ریاضیات کاربردی. ریاضی محض در مورد چرایی مطالب صحبت می کنه اما ریاضیات کاربردی چرایی در درجه دوم هست بلکه می خواد یک مطلب رو کاربردش رو ببینه و محاسبه انجام بده و مسئله ای رو طوری حل کنه که بتونن ازش استفاده کنن.
راوی: بذارید با این سئوال شروع کنیم: اصلا چرا بشر به سراغ ریاضیات رفته؟ چه نیازی بوده؟ چرا باید هزاران سال پیش تلاش برای کشف روابط بین اشکال هندسی و اعداد جبری برای انسان‌ها مهم می‌بوده؟
حقیقی: بشر قدیم و کلا بشر به طور کلی همیشه نیازمند اندازه گیری هست. می خواد چیزی که دوروبرش هست رو اندازه گیری کنه. میخواد زمان باشه، می خواد میوه ای که می خره و پولی که می شماره و زمینی که برای سکونت انتخاب می کنه. چون مالکیت براش مهم بود اندازه گیری زمین ها و تقسیم زمین ها براساس مالکیت خیلی مهم بود. همینطور اندازه گیری های دیگه ای هم مثل وزن و سرعت حرکت یک شی و یا طلوع و غروب خورشید و یا چرخش زمین به دور یک جایی رو اندازه گیری کنن. به همین خاطر روش هایی رو پیش بردن و ابداع کردن که اندازه گیری رو انجام بدن.
راوی: الان وقت اینه که برگردیم سراغ موضوع اصلی مورد بحثمون یعنی قضیه فیثاغورث. در قدم اول بهتره که بریم ببینیم این قضیه چیه و چه چیزی بهمون میگه؟
دانشیان: قضیه فیثاغورث رابطه بین اضلاع یک مثلث قائم الزاویه رو نشون می ده.
راوی: شاید یادتون بیاد که ما تو مدرسه یاد گرفتیم چند جور مثلث داریم: متساوی الاضلاع، متساوی الساقین، مختلف الاضلاع ... ولی قضیه فیثاغورث در مورد مثلث قائم الزاویه است.
دانشیان: یک مثلث قائم الزاویه از محل برخورد سه خط با هم تشکیل می شه. به صورتی که یک مثلث سه ضلع داره و سه زاویه داخلی داره. اگر یکی از این زاویه ها ۹۰ درجه باشه، اصطلاحا بهش می گیم قائمه داشته باشه اون مثلث رو بهش می گن مثلث قائم الزاویه. بنابراین چون سه ضلع و سه زاویه داریم روبروی هر زاویه یک ضلع قرار می گیره. اون خطی که روبروی زاویه ۹۰ درجه هست رو می گن وتر. بنابراین در یک مثلث قائم الزاویه یک وتر داریم. اگر اسم اون دو تا ضلع دیگه رو بزاریم ای و بی و وتر رو اسمشو بزاریم سی به صورت ساده می گه مربع و یا به توان ۲ ضلع وتر برابر است با مجموع مربعات دو ضلع دیگه. به عبارت دیگه اگر سی وتر مثلث قائم الزاویه باشه قضیه فیثاغورث می شه سی به توان ۲ مساوی آ به توان ۲ به اضافه بی به توان ۲.
راوی: اما مثل اینکه قبل از این که قیثاغورث این قضیه رو مطرح کنه، بشر به این رابطه ریاضی آگاهی پیدا کرده بود.
نراقی: قبل از اینکه فیثاغورث اونو اثبات کنه، مطرح شده بود. فیثاغورث به کشورهای مصر و چند کشور سفر کرده بود و قضیه فیثاغورث مطرح شده بود اما اثبات به صورت استدلالی و استنتاجی نداشته.
راوی: شاید بهتره دنبال این باشیم که اصلا ایده قضیه فیثاغورث از کجا اومده و چرا بشر قدیم به دنبال این نوع اندازه گیری ها بوده.
حقیقی: اهمیت مثلث قائم الزاویه در این بود که زمین نیرویی که به شی هایی وارد می کنه عمود بر سطح زمین هست. یعنی برج پیزا این برج کج شده و دائما گرانش زمین به سمت خودش می کشونه و چه بسا در آینده ممکنه فروبریزه اما بشر از این خاصیت تعامد استفاده می کنه و در جای دیگه بکار میبره. یعنی وقتی ساختمانی رو می سازه سعی می کنه عمود باشه تا پنجره ای که درست می کنه سعی می کنه عمود باشه.
راوی: با این تفسیر یعنی از وقتی انسان در ساخت سازه‌های عمرانی به یه پیشرفتی رسید که میخواست سازه‌ها، عمود بر سطح باشن به گونیا نیاز پیدا کرد و گونیا چیزی نیست جز یه مثلث قائم الزاویه.
حقیقی: ایده قضیه فیثاغورث از اینجا به وجود میاد که قضیه مربع مثلث قائم الزاویه مثلث خوبی بود. یعنی یک زاویه معلوم بود و دو زاویه دیگه به تبع اون معلوم می شدن. یعنی یونانیان قدیم می دونستن مجموع زوایای یک مثلث از یک عدد کمتر هست. یعنی تقریبا می دونستن مجموع زوایا ۱۸۰ درجه است. وقتی یک زاویه مقدارش ۹۰ درجه باشه یعنی از سه کمیت، یکیش رو می دونیم و دوتاش رو باید تعیین کنیم. به همین خاطر مثلث قائم الزاویه اهمیت داشت.
راوی: پس ایده اصلی و شروع ماجرا برمیگرده به عمود بودن. همانطور که دکتر حقیقی هم گفتن خیلی از اجسام اطراف ما از گوشی موبایلی که دستمونه و با استفاده از اون داریم این پادکست رو گوش میدیم تا ساختمونی که داخلش زندگی می‌کنیم در همه این ها قضیه عمود بودن در ساخت این اشیا رعایت شده. حتی خیلی از ما ممکنه تو زندگی روزمره‌مون از این قضیه بارها و بارها استفاده کنیم و ندونیم که داریم قضیه فیثاغورث رو بکار میبریم. دکتر حقیقی خاطره جالبی رو برامون تعریف میکنن.
حقیقی: من توی شهر که می رم می بینم مردم دارن کار می کنن. یک بار رفته بودم دیدم دارن بنایی می کنن. دیدم این آقای کارگر که بنایی می کرد. متر رو درآورد و یک گوشه رو اندازه گرفت. وتر رو هم اندازه گرفت. گفتم می دونی این کاری که می کنی فرمول کلی براش بلدی یا تجربه کاری یاد گرفتی. گفت نه اوستا بهمون گفته. گفتم توی مدرسه اینها رو یاد نگرفتی. گفت نه. چون کارگر افغانی بود حدس زدم که تحصیلات مدرسه ای نداشته و تجربی یاد گرفته بود. گفتم حالا که این عددها رو به دست آوردی چه کار می کنی؟ گفت اینو ضربدر خودش می کنم و اینها رو ضربدر خودش می کنم. اگر اینها با هم برابر شد می فهمم اینجا زاویه اش طوری هست که از اونجا شروع کنم سنگ رو چیدن تا انحراف نداشته باشه. سنگ هایی که می چید از این طرف می رفت اون طرف دیوار بدون اینکه چینش سنگ ها انحراف داشته باشه.
راوی: از دکتر حقیقی خواستم در رابطه با همین کاربردهایی که قضیه فیثاغورث در زندگی روزمرمون ممکنه داشته باشه بیشتر صحبت کنن.
حقیقی: یا جاهایی که قاب عکس درست می کنن. می گن گونیا کنیم که جفت بشن. قاب منحرف نشده و اونجا دارن از قائم الزاویه استفاده می کنن. این کاربرد قضیه فیثاغورث هست. اصطلاح گونیا کردن یک زاویه قائمه است. اینکه یک شیئی دو ضلعش بر هم عمود باشن و اینها خیالشون راحت باشه که از این به بعد بنایی که می سازن درست هست و انحنا نخواهد داشت.
ضرب المثل خشت اول گر نهد معمار کج؛ تا ثریا می رود دیوار کج.
بشر به طور تجربی از طریق همین جور سازی ها سعی می کنه زاویه های قائمه که یکی از ملاک های جور سازی هست رو بسازه.
راوی: رابطه قضیه فیثاغورث با هندسه اقلیدسی چیه؟
دانشیان: لطفا توجه داشته باشید که قضیه فیثاغورث در همه جا برقرار نیست. مثلا ما هندسه منفی یا هندسه کروی داریم و هندسه های غیراقلیدسی اینها هندسه هایی هستند که قضیه فیثاغورث در اون ها برقرار نیست. پس این تصور پیش نیاد که قضیه فیثاغورث همه جا برقراره. فیثاغورث در هندسه اقلیدسی برقراره.
راوی: خب اقلیدس کی هست؟
دانشیان: اقلیدس خودش یک ریاضی دانه که ۳۰۰ سال قبل از میلاد مسیح در مصر زندگی می کرده. یعنی ۳۰۰ سال بعد از فیثاغورث اومده. خیلی ها اقلیدس رو امروزه پدر هندسه می شناسن. پس لطفا توجه کنید. برای اینکه ارزش کار آقای فیثاغورث مشخص بشه. فیثاغورث ۳۰۰ سال قبل از اینکه پدر هندسه پا به عرصه وجود بزاره این قضیه رو پیدا کرده و ثابت کرده.
دانشیان: اقلیدس کارش این بود که این مطلبی که بابلی ها و ایلامی ها می دونستن و به صورت تجربی ازش استفاده می کردن و عمل می کردن سر و سامان داد. کارهای بزرگی کرد که تونست اینو اثبات کنه.
راوی: فکر کنم الان این سئوال پیش میاد که هندسه اقلیدسی چیه و هندسه غیر اقلیدسی به چی میگن.
دانشیان: هندسه های غیراقلیدسی در قرن ۱۹ توسط جان فلوین و جیرم لابام مطرح شدن. بعدها توسط نیکولای و جورج بولی تعمیم پیدا کردن.
نراقی: توی هندسه اقلیدسی می گن دو تا خط موازی همدیگه رو قطع می کنن، توی هندسه نااقلیدسی می گیم دو خط موازی به هم دیگه می رسن. یک هندسه دیگه به وجود میاد. ما فکر می کردیم دنیا رو با هندسه اقلیدسی می تونیم مشاهده کنیم. اما دنیای دیگه ای وجود داره به نام هندسه ناقلیدسی. من مثالو به بچه ها می گم که ناقلیدسی فکر کنید اما اقلیدسی زندگی کنید. چون ما توی جامعه ای زندگی می کنیم که طبیعیه.
حقیقی: قضیه فیثاغورث در دنیای مسطح اتفاق می افته در حالی که دنیای ما خمیده است. شما به اندازه صفحه افق می بینید اما نمی تونید دنیا رو توی این صفحه افق بگنجونید. مثل رانندگی کردن. مجبورید خمیده بشید و یک مسیر خمیده داشته باشید. اندازه گیری بین دو نقطه به کمک رابطه فیثاغورث صورت می گیره. مختصات این نقطه و اون نقطه کمک می کنه که بین این دو نقطه، اندازه رو در نظر بگیره و در دنیای اقلیدسی این پاره خط و وتری که ضلع سوم قائمه است، کوتاه ترین فاصله بین این دو نقطه رو می ده. یعنی اگر چنین نقطه ای داشته باشید و وصل بشید ممکنه از اینجا به اونجا راه های زیادی رو برید اما کوتاه ترین فاصله خط مستقیم هست که اینو به شما می ده.
راوی: من می‌خوام به بار اینجا به زبون ساده تفاوت هندسه اقلیدسی و هندسه نااقلیدسی رو توضیح بدم. البته خیلی هم سختش نمی‌کنم؛ فقط در حدی که بشه با تحصیلات دبیرستانی هم متوجه اون شد. هندسه اقلیدسی همون هندسه‌ایه که اغلب مردم تو مدرسه یاد می‌گیرن و بر پایه قوانین اقلیدس، بنا شده. این نوع هندسه، شکل‌ها، زوایا و فواصل رو تو فضای مسطح توصیف میکنه، جایی که خطوط موازی هیچوقت همدیگه رو قطع نمی‌کنن و مجموع زوایای داخلی یه مثلث همیشه ۱۸۰ درجه است. اما هندسه نااقلیدسی با فضاهای خمیده سروکار داره. برای مثال، روی یک کره (مثل کره زمین)، خطوطی که ابتدا موازی هستند ممکنه در نهایت به هم برسن و مجموع زوایای داخلی یه مثلث میتونه بیش از ۱۸۰ درجه باشه. این نوع هندسه تو درک مسائلی مثل شکل جهان و نظریه نسبیت اینشتین نقش مهمی داره.
راوی: مطمئنم برای شما هم این سوال پیش اومده که این آقای فیثاغورث کی بوده که همچین نبوغی داشته و به همچین قضیه مهمی دست پیدا کرده. قضیه ای که هنوز که هنوزه بعد از گذشت ۲۵۰۰ سال در زندگی بشر خواسته یا ناخواسته ازش استفاده میشه.
حقیقی: آقای فیثاغورث آدمی بود که مسافرت زیاد می کرد. اون موقع جایی که اقای فیثاغورث می زیسته جزو قلمرو ایران بوده و جزو روم نبوده) طبیعتا توی امپراطوری ایران مسافرت هایی داشته از جمله اومده نزد موبدان زرتشتی تعالیم زرتشتی گرفته بوده. آقای زرتشت قضیه فیثاغورث و رابطه بین اضلاع مثلث رو می دونسته.آقای فیثاغورث قضیه فیثاغورث رو از تعالیم زرتشتی آموخته اما چون آدم منطقی ای بوده سعی کرده اثبات ارائه بده. اثباتی که داده خیلی طولانی و ظریف و سر راست نیست. به هر حال با اینکه یک آدم برای اولین بار ایده رو ارائه می ده خیلی خوبه اما جالبه بدونید که تا (به نقل از یک کتاب ۱۹۴۰) تونسته بود روایت از اثبات از یک قضیه فیثاغورث رو ثابت کنه.
دانشیان: فیثاغورث اهل ساموس یونان بوده. ۵۷۰ سال قبل از میلاد مسیح در ساموس زاده شده. ازدواج کرده و یک پسر و سه دختر داشته. در سال ۴۹۵ قبل از میلاد در شهر متاپولیتون ایتالیا در گذشته. در زندگی به موسیقی و نجوم و فلسفه علاقه داشته.
دانشیان: از ایشون آثار مکتوبی به جا نمونده ولی یک مکتب معروفی توی تاریخ به نام مکتب اخوتی داره که این مکتب بعد از مرگش توسط شاگرداش ایجاد و اداره می شه. بنابراین مطالبی که از فیثاغورث گفته می شه از دست نوشته های خود او نیست و نقل قول هایی هست که از شاگرداش مونده. به طور طبیعی هم کسانی که در تاریخ ذکری ازشون می شه معمولا ذکر اونها با قصه و دروغ و راست و ... عجین می شه و به دست ما می رسه.
راوی: دکتر دانشیان برای فیثاغورث دو شخصیت در نظر میگیره یک شخصیت فیلسوف و یک شخصیت ریاضی دان. جالبه اگر دقت کرده باشید اکثر این افراد برجسته باستان، هم فیلسوف بودن و هم ریاضی دان. اما واقعا چه ارتباطی بین این دو موضوع وجود داشته؟
دانشیان: مختصر توضیحی در رابطه با آمیختگی فلسفه و ریاضیات در دوران باستان عرض می کنم اینکه شخصیت هایی مثل فیثاغورث فیلسوف بودن و هم ریاضی دان. دلیلش اینه که به گواه تاریخ ریاضیات بخشی از فلسفه بوده. یعنی ریاضیات مستقل از فلسفه نبوده. اینها دانشمندانی فیلسوف بودن که برای اثبات بیان عقایدشون از ابزار ریاضی استفاده می کردن. همینطور که امروز وقتی یک فیزیکدان می خواد قضیه ای رو اثبات کنه از ابزار ریاضی استفاده می کنه. یا توی مهندسی و شاخه های دیگه. امروزه ذهن ما به سهولت می پذیره که اگر یک متخصص فیزیک، شیمی و کوانتوم و شبیه سازی و مهندسی برق و علوم کامپیوتری و یا منجم به راحتی از مثلثات کروی استفاده می کنه، ریاضیات وسیله ابزار بیان ایده هاشه در رشته خودش. اون موقع در یونان باستان فیثاغورث برای اثبات مطالبش، از ریاضی استفاده می کردن. البته بعدها ریاضی جدا می شه و برنده این طلاق، ریاضیات بوده.
راوی: چطور ممکنه که ریاضیات ابزار فلسفه بوده باشه؟
دانشیان: فلسفه به مفاهیم کلی می پرداخته. همونطور که الان هم همینطوره. فلسفه به چند و چون هستی، رابطه انسان با جهان و اینکه شر و خیر چیه و ظلم و عدالت چیه و این مفاهیم به اصطلاح فلسفه بهش می پردازه. به عنوان نمونه یک فلسفه پارمنیدس داریم که این آقا معتقد بوده جهان یکپارچه است و کلا حرکت رو نفی می کرد. به عبارت دیگه از نظر این فیلسوف جهان یکپارچه و به هم چسبیده است و هیچ سیلانی در اون وجود نداره. وقتی با واقعیت های عینی که ما حرکت رو می دیدیم و می گفتند که چرا حرکت رو می بینید و جابجا می شویم می گفت نه این طور نیست و این چیزی که می بینید تصور ذهنی شما و یک خیال و تصوری بیشتر نیست.
راوی: از دکتر دانشیان خواستم که در رابطه با این موضوع یعنی فلسفه پارمنیدس (Parmenides) برامون بیشتر بگن؛ موضوع جالبی بنظر میاد.
دانشیان: حالا برای اینکه اینو اثبات کنه شاگردی به نام زنون داشته که معروفه. این آقای زنون حدود ۴۹۵ تا ۴۳۵ قبل از میلاد مسیح بوده و زنون چهار استدلال ریاضی برای اثبات این مسئله میاره تا نشون بده که حق با استادش هست و حرکتی وجود نداره. مسئله معروف زنون رو حتما شنیدید. خیلی خلاصه آشیل بادپاست که زنون ادعا می کنه حرکت وجود نداره. آشیل از خدایان یونانی و اسطوره های یونانی از نقطه ای به نقطه می بره. این آشیل با سرعت یکنواخت حرکت می کنه. زنون استدلال می کنه که این آقا قبل از اینکه به خط پایان برسه و یا از نقطه ای به نقطه بی برسه باید نصف این راه رو بره. برای اینکه نصف این راه رو بره باید نصف اون راه رو رفته باشه و همینطور راه ها رو باید نصف نصف بره و چون هر چیزی نصف داره پس عملا حرکتی وجود نداره. چون اگر بخواد به نقطه بعدی برسه باید نصف اون فاصله رو طی کرده باشه و به این ترتیب زنون استدلال می کرد چون هر فاصله ای نصف داره و نصف اون زمان لازمه که مصرف بشه که بره و همیشه نصف وجود داره به این ترتیب نمی تونه حرکتی کنه. هر حرکتی مستلزم اینه که نصف اون راه رو بره و به این ترتیب حرکت رو نفی می کرد. البته این منجر به یک مفاهیمی شد به اسم بی نهایت کوچیک و بی نهایت بزرگ. بعدها ثابت شد که این استدلال زنون صحیح نیست و این سفسطه ای که زنون برای اینکه ثابت کنه حرف استادش درسته و حرکتی وجود نداره سالیان دراز انسان رو معطل کرد.
راوی: در مکتب فیثاغورث هم افراد با استفاده از ریاضیات سعی می‌کردن فلسفه رو توضیح بدن. فیثاغورثیون به صورت کلی به اعداد و ریاضیات در پاسخ به مسائل فلسفی و عرفانی خیلی اهمیت می‌دادن. همین شیوه نگاه ماورایی به ریاضیات تا قرن نوزدهم تو بین بعضی ریاضیدانان ادامه پیدا میکنه. حتی افراد معروفی مثل لایبنیتس هم دچار این مسئله شدن.
حقیقی: یک کار عجیب و غریبی که آقای فیثاغورث کرد چون فکر می کرد اگر خواص اعداد صحیح رو بدونه، می تونه به خدا نزدیک تر بشه و قرب خدایی بیشتر می شه.
دانشیان: آدم های خیلی بزرگ مثل لایب نیتز (می دونیم به همراه نیوتن بزرگ، خالق حساب دیفرانسیل و انتگراله) وقتی که به رادیکال منهای یک می رسه با عرفان پرهیجان (لایب نیتز یک کشیش بود و زمینه های مذهبی هم داشت و ریاضیات هم مسلط بود و ریاضی دان بود) همین استفاده از ریاضیات برای توجیه عرفان و یا مسائل ماوراءالطبیعه باعث شده بود که می گفت روح خداوندی در این چیز شگفت انگیز که آنالیز نام دارد با کمک آنچه که ما جذر موهومی عددمنهای یک می نامیم. رادیکال منهای یک واسطه ای بین هستی و نیستی است. نفر منتهای رفیعی یافته است. یعنی رادیکال منهای یک حاصل هستی و نیستی است که البته بعدها همه ریاضی دان ها این طور نبودن.
راوی: البته بعدها توسط هامیلتون در سال ۱۸۴۰ مشخص شد که این عدد رادیکال منفی یک به صورت یک جفت عدد تعریف میشه که بهش عدد مختلط گفته میشه و اون هم دنیای پیچیده خودش رو داره که در یک اپیزود دیگه در این باره مفصل صحبت خواهیم کرد.
دانشیان: یکی از پیروان کانت در قرن ۱۹ با قطعیت و اعتماد از قضا به صورت خالص صورت و مکاشفه صحبت می کرد یا یک منجم ریاضی دان اعلام می کنه که به طور لزوم خداوند متخصص ریاضیات خالصه.
راوی: تا به اینجا فهمیدیم که در گذشته فیلسوف‌ها برای اثبات ادعا‌ها و نظریه های خودشون از ابزار ریاضیات استفاده می‌کردن. اما بهتره که برگردیم سراغ موضوع اصلی خودمون و این که فیثاغورث چطور فیلسوفی بوده؟
دانشیان: همانطور که قبلا عرض کردم فیثاغورث دو شخصیت داشته. یک شخصیت عارف و پیامبرگونه که وضع می کرده و ارشاد و راهنمایی می کرده و اخلاقیات رو توسعه می داده از ظن خودش و هم اینکه ریاضی دان و دانشمند بوده.
دانشیان: به قولی می گن فیثاغورث یک دهم شهرتش رو نتیجه نبوغشه و مابقی رو به خاطر ارشاد و رسالتی هست که برای خودش قائل بوده.
فیثاغورث مدتها در مصر زندگی کرد و در این دوران در خدمت روحانیون مصری و کاهنان بوده و در اونجا شاگردی می کرده و در این مدت اطلاعات زیادی رو کسب کرد و اعتقادات زیادی رو در این زمینه در وجودش خلق کرد و بعد از اون روانه بابل شد و این قضیه رو در بابل و ایلام آشنا شد و شاگردی کرد و بعد که به کشور خودش برگشت در کلوتوم ایتالیای جنوبی مکتبی دایر کرد که در اون نظریه های فیزیکی، اخلاقی و .. رو تدریس کنه و پیشرفت بده. البته اون طور که در افسانه ها اومده در نهایت متعصبین مذهبی و سیاسی عموم مردم رو علیه او شوراندن و فیثاغورث در ازای ارشادات و نور هدایتی که به اون ها می خواست بده، مکتب و معبدش رو آتیش زدن و این ریاضی دان و فیلسوف در میان شعله های آتش جان داد.
حقیقی: نمی دونم که ریاضی دان محسوب می شد یا نه. اما می تونم بگم که این افرادی که دور آقای فیثاغورث جمع شدن و می پرستیدن و دنباله رو بودن و حرفش رو به عنوان روحانی قبول داشتن؛ اون موقع حرفه های زیادی نبود. شاید کشاورزی می کردن و زندگی می گذروندن. اما آقای فیثاغورث یک انجمنی به اسم انجمن اخوت درست کرد و انجمن برادری که ناشی از تعالیم زرتشتی بود. اونجا هم سه شعار پندار نیک، گفتار نیک و کردار نیک بود. اینها رو یاد گرفته بود و اینها رو رواج داده بود.
راوی: پس فیثاغورث علاوه بر ریاضی دان بودن یک روحانی و رهبر مذهبی هم بوده و انجمن اخوت رو تشکیل داده بوده که در اون تعالیم زرتشتی رو رواج می‌داده و در واقع اونها فکر می‌کردن که میتونن با مفهوم اعداد به خدا نزدیک بشن، اما عاقبت این انجمن و باورهاشون چی شد؟ چی سرشون اومد؟
نراقی: خود فیثاغورث زیرآب خودش رو زد. یعنی می گم علمی که پایه گذاری می کرد، صداش دراومد. گفتن این چیه. تو که تا حالا می گفتی اعداد طبیعی وجود داره پس این از کجا پیداش شد. اعداد گنگ و بعد از اعداد گنگ چون اعداد مختلط. اعداد مختلط هم یک قضیه داریم توی جبر نظریه گالوا که می گه دنیایی وجود داره که تمامی مشکلات شما توی اونجا حل می شه .
حقیقی: اولین نمونه عملی که قضیه فیثاغورث داشت دشمنی شد برای خود فیثاغورثیان. آقای فیثاغورث و مکتبش به اعداد صحیح علاقه مند بودند و اعدادی که حاصل تقسیم دو عدد صحیح هستن که بهشون می گن اعداد گویا. رابطه فیثاغورث رو اگر بخواید محاسبه کنید. اگر یک مثلثی داشته باشین که دو ضلع زاویه به زاویه قائم یک باشه و طول وتر رادیکال دو می شه. مربع وتر می شه دو. رادیکال دو عدد گویا نبود و این دنیای فیثاغورثی ها رو به هم ریخت . برای اولین بار ثابت کردن با برهان خلف که رادیکال دو عدد گویا نیست. اینها تا مدتها سعی می کردن که اینکه یک عدد پیدا شده که گویا نیست عیان نکنن تا اینکه آقایی که اینو می دونست و عیان و فاش کرده بود که رادیکال دو گویا نیست. کاری کردن که توی کشتی غرق شد و به نوعی کشته شد.
راوی: پس خود قضیه فیثاغورث کار دست فیثاغورثیون و مکتبشون داد و تموم اعتقادات و افکارشون رو نقش بر آب کرد.
حقیقی: انجمن اخوت (برادر هوت) اولا یک سری خرافه در مورد اعداد رو اشاعه دادن. این مزاحمت ایجاد می کرد. برخلاف فلسفه اولیه شون که قرار بوده برای همه چیز اثبات داشته باشن. یک سری خرافه هم به وجود اومد. مثلا عدد ۱۳ نحسه و یا خود فیثاغورث می گفت که عدد ۱۰ خوش یمنه. اون موقع چون رهبر مذهبی بوده می گفته ۱۰ خوبه.
راوی: جالبه که این موضوع نحس بودن عدد ۱۳ ریشه تاریخی داره و از زمان همین آقای فیثاغورث ایجاد شده.
راوی: واقعا این قضیه فیثاغورث چه داستان های عجیب و غریبی پشتش هست و ما الان خیلی ساده تو مدرسه ها به عنوان یک قضیه بنیادی ریاضی از کنارش رد میشیم.
راوی: خب گفتیم آخر سر اثبات قضیه‌ای که ما الان به عنوان قضیه فیثاغورث میشناسیمش همه آموزه‌های دینی که خود فیثاغورث ترویج می‌کرد رو زیر سئوال برد و منجر به شناخت اعداد و هندسه شد. به طور خلاصه اثبات قضیه فیثاغورث دروازه جدیدی برای علم ریاضیات باز کرد.
حقیقی: اولین کاربرد جدی قضیه فیثاغورث پیدا شدن اعدادی به جز اعداد گویا بود. اعداد گنگ پیدا شدن. بشر کنجکاو قانع نشد و گفت این عدد گنگ چیه؟ سعی کرد این عدد رو بشناسه. یک آقایی به اسم آدوکسوس اومد اشکال منطقی که باعث شده بود آقایون فیثاغورثی ها شیرازه افکارشون به هم بخوره، برطرف کرد و نظمی به اون داد. این اولین کاربردش بود و باعث شد اعداد دیگری هم شناخته بشن. برخلاف اعداد صحیح که ماهیت گسسته داشتن (۱-۲-۳ و ..) اعدادی که برای اندازه گیری دنیای پیوسته مثل زمان و فشاری که به زمین میاد و یا اندازه گیری سرعت صوت و اینها و تابش نور و زاویه نیاز بود. اینها جزو اعدادی بودند که در قالب اعداد گویا نبودن.
راوی: حالا اگر بخوایم از شخصیت خرافاتی فیثاغورث بگذریم؛ باید بریم سراغ شخصیت ریاضی دانش.
دانشیان: اگر بخوایم به جنبه ریاضی شخصیت فیثاغورث اشاره کنیم شاید دو تا براش جایگاه قائل بشیم. یکی اینکه واقعیت اینه که قبل از فیثاغورث کسی هیچ ایده و نظر روشن نسبت به این موضوع نداشت که بایستی استدلال متکی بر مفروضات باشه. عمده یافته های هندسه در اون زمان و یک سری اطلاعات پراکنده و بدون دلیل اینکه با چه فرضی به دست اومدن بنا شده بود و فیثاغورث تنها کسی بودکه اصرار می کرد که استدلال باید متکی بر یک سری مفروضات باشه. اولین کسی که به این نکته در هندسه اصرار ورزید که بایستی ما ابتدائا یک سری اصول رو به عنوان اصول موضوع و متعارف معین کنیم و سپس به اتکای اون اصول یک روش استنتاج متوالی رو پی بگیریم و به این ترتیب استدلال های خودمون رو پیشرفت بدیم تا نتیجه مطلوب حاصل بشه.
راوی: پس فیثاغورث از دو جنبه به پیشرفت ریاضیات کمک کرد. یکی استدلال‌های ریاضی بر اساس مفروضات و دومی تعیین اصول موضوع و متعارف.
دانشیان: اون چیزی که ما امروزه به عنوان اصل موضوع و یا فقط به عنوان اصل آموزش می دیم در واقع اصولی هست که فیثاغورث به یادگار از خودش گذاشته و میراث فیثاغورث هست. البته باید توجه کنید که بین اصل موضوع و اصل متعارف تفاوت وجود داره. اصل متعارف اونه که به خودی خود لازم و واجبه و نیازی به اثبات نداره و به صورت متعارف پذیرفته شده است. اما اصل موضوع این حقیقت رو نداره و یک حقیقت واضح نیست که به خودی خود معلوم باشه و نیازی به توضیح نداشته باشه بلکه اصل موضوع اصولی هستن که ریاضی دان با نبوغ خودش اونها رو وضع می کنه به طوری که این اصول توانایی تحمل قضایا و لم ها و نتایجی که قراره از اونها گرفته بشه رو داره و به تناقض نمی رسه.
راوی: پس یکی از میراث‌های بزرگی که از فیثاغورث به‌جا مونده، وارد شدن استدلال در علم ریاضیاته، که یک نقطه عطفی در تاریخ علم و دانش محسوب میشه. در واقع قبل از فیثاغورث ریاضیات به صورت پراکنده و تجربی بود و بیشتر یافته ها تو این علم بر اساس مشاهدات تجربی و بدون استدلال منطقی صورت میگرف. این روش ها زمینه ساز پیشرفت های بزرگی شد که بعد ها توسط ریاضی دان بزرگی مثل اقلیدس هم به کار گرفته شد و به تدریج به استانداردی برای تحقیقات ریاضی تبدیل شد. همینطور باید بگم که ایجاد این استدلال‌های منطقی نه تنها تبدیل به شاخه جدایی ناپذیر در علم ریاضیات شده بلکه در علوم دیگه مثل فلسفه، فیزیک، مهندسی و غیره هم وارد شده.
راوی: خب حالا که خیلی چیزها برامون روشن شد و به ارزشمندی و اهمیت قضیه فیثاغورث پی بردیم، وقتشه که با کاربردهای این قضیه در دنیای امروزه بیشتر آشنا بشیم. در ابتدای پادکست به چند مورد از کاربردهای مهم اون در زندگی اشاره کردم و حالا میخوایم به جزئیات بیشتری از این کاربردها بپردازیم و بفهمیم که چطور این قضیه به حل مسائل پیچیده مهندسی، نقشه برداری، فیزیک و حتی طراحی بازی های ویدئویی کمک میکنه.
دانشیان: اگر زمانی که این قضیه مطرح شده توجه کنیم، بابلی ها با ایلامی ها این مسئله رو به صورت تجربی دریافته بودن. وقتی یک نتیجه ای از تجربه به دست میاد نشون دهنده اینه که اون رابطه در عمل به طور مکرر اینقدر تکرار شده که اون قاعده دست مردم اومده و فهمیدن که این چنین رابطه ای در دنیای واقعی شون به درد می خوره. فیثاغورث در واقع این قانون قاعده تجربی روکه از ایلامی ها و بابلی ها یاد گرفت رو اومد با تعریف اصول، استدلال و ثابت کرد.
اما یادمون باشه که این قاعده تجربی نتیجه کاربرد فراوان در بین مردم بوده که به صورت قانون دراومده.
راوی: دکتر دانشیان به کاربردهای عملی این قضیه اشاره میکنن که نقش بسیار مهمی در اندازه گیری فاصله بین اجرام آسمانی تا زمینی داره.
دانشیان: از این قاعده می شه در پیدا کردن فاصله دو نقطه از همدیگه استفاده کرد. دو نقطه که در یک خط صاف باشن و اینکه فاصله شون رو چطور حساب کنیم. در یافتن ارتفاع بناها می شه ازش استفاده کرد. ارتفاع یک ساختمان، ارتفاع یک درخت، ارتفاع یک بنا رو می شه با قضیه فیثاغورث محاسبه کرد. کاربردی که این قضیه در هندسه تحلیلی داره و این قضیه در ایجاد هندسه تحلیلی توسط دکارت نقش مهمی داشته پس می ره در دل قضیه تحلیلی. توی مثلثات کاربرد زیادی داره این قضیه و در نهایت مثلثات می خوره به مثلثات کروی و مثلثات کروی هم ابزار دست منجمین در مطالعه ستارگان و سیارات و نجوم هست. در نقشه برداری خیلی استفاده می شه. در صنعت به طور کلی، کلی از این قطعات رو می شه در صنایع استفاده کرد. در طراحی بازی ها و تحلیل بردارها مثلا دو تا بردار دارید و می خواید اینها رو از هم کم کنید و شکلی که می کشید شکل مثلث قائم الزاویه درمیاد. طول بردارها، حرکت در فیزیک و کاربردهای این تیپی رو قضیه فیثاغورث داره.
راوی: اما آیا از این قضیه هنوز به همون شکلی که در حدود ۲۵۰۰ سال پیش بیان شد استفاده میشه؟ و هیچ پیشرفت و تغییری در اون حاصل نشده؟
دانشیان: فقط یادتون باشه که ما داریم از یک قضیه باستانی صحبت می کنیم و امروز از اون دوران حدود دو هزار و ۶۰۰ سال گذشته و در طول این دوران ابزارهای دیگه ای ساخته شده که پیشرفته ترن. این قضیه ممکنه امروز برای یک سری مسائل ساده مثل پیدا شدن فاصله دو نقطه استفاده بشه اما خود این قضیه سبب پیشرفت خیلی از مفاهیم دیگه شده. یعنی نقشی که در ساخته شدن ابزارهای دیگه شده باید بهش توجه بشه.
نراقی: همین که تعمیم دادیم که ایکس به توان ان به علاوه ایگرگ به توان ان مساوی با زد ۳۰۰ -۳۵۰ سال طول کشید. همین الان هندسه فیثاغورثی فازی هم داریم. چون علم داره تعمیم پیدا می کنه و قضیه فیثاغورث داره تعمیم پیدا می کنه. ما قانون کسینوس ها رو داریم که فقط فیثاغورث منحصر به مثلث قائم الزاویه نیست و این تعمیم پیدا می کنه. یک دونه قانون کسینوس ها رو داریم. یعنی بین اضلاع مثلث یک رابطه وجود داره که به زاویه اش هم مرتبط می شه. تعمیم های مختلف داره.
راوی: آیا قضیه فیثاغورث در مثلث های دیگه هم برقراره؟ یعنی میشه تو مثلث‌هایی که زاویه قائمه ندارن هم ازش استفاده کرد؟
نراقی: ببین الان شما فکر می کردید که رابطه فیثاغورث فقط برای مثلث قائم الزاویه هست اما شاید سوال برای شما پیش بیاد پس بقیه مثلثات چی؟ ما یک قانون داریم به نام قانون کسینوس ها. این قانون تعمیم یافته قضیه فیثاغورثه که می گه سی دو مربع وتر می شه یکی از اون ضلع ها. یکی از ضلع ها مربعه که با مربع اون دو تای دیگه رابطه داره.
راوی: قانون کسینوس ها یکی از ابزار های مهم در مثلثاته که تعمیمی از قضیه فیثاغورث برای مثلث های دیگه به غیر از قائم الزاویه محسوب میشه. با استفاده از این قضیه میتونیم با داشتن دو ضلع و زاویه بین اونها طول ضلع سوم رو محاسبه کنیم.
نراقی: مربع یعنی به توان دو. به زبان ساده بگم. هر ضلعی که در نظر بگیرید مربع با مربع ضلع های دیگه رابطه داره که اون رابطه وابسته به زاویه بین اون دو تا ضلع دیگه است که بهش می گن کسینوس به ضلع مجاور به وتر. یعنی می شه قانون.
راوی: حالا بریم سراغ سئوال بعدی: چطوری قضیه فیثاغورث به فضای سه و چهار بعدی تعمیم پیدا کرد و این تعمیم چه فایده و کاربردی برای زندگی بشر داشت؟
حقیقی: این تعمیم پیدا کرد در دنیای سه بعدی و چهاربعدی می تونید فاصله بین دو نقطه رو اندازه بگیرید. اما آقای ریمان دید که روی کره زمین نمی تونه از متر اقلیدسی که براساس قضیه فیثاغورث ساخته شده فاصله رو اندازه گیری کنه و آشکارا زمین خمیده بود. آقای گاوس منجم بود و فواصل بین اجرام سماوی رو اندازه می گرفت. دید متر اقلیدسی که اندازه می گرفتن کافی نیست. مجبور شدن خمیدگی رو اعمال کنن. یک راه هوشمندانه ای رو انتخاب کردن. گفتن درسته که فیثاغورث در مقیاس کوچیک برقرار نیست اما در مقیاس بزرگ برقراره. یعنی اومدن در مقیاس یک هزارم و یک صد هزارم نوشتن. این محاسبات که در مقیاس های کوچیک انجام داده بودن گفتن مقیاس دیگری به اسم انتگرال داریم. با انتگرال اینها رو جمع کردن و تونستن یک کمانی رو اندازه بگیرن. این منجر شد به یک هندسه ریمانی. برخلاف هندسه اقلیدسی قابلیت های بیشتری داره.
راوی: پس طبق صحبت های دکتر حقیقی متوجه شدیم که قضیه فیثاغورث قابل تعمیم در فضاهای ۳ و ۴ بعدیه اما در سطح خمیده زمین کاربرد نداره. برای این اندازه گیری ها در فضای خمیده باید از انتگرال گیری استفاده کرد که این منجر به ایجاد هندسه ریمانی (Riemannian Geometry) شد. هندسه ریمانی یه هندسه دیفرانسیلیه که به مطالعه خواص فضاهای خمیده اختصاص داره.
راوی: قضیه فیثاغورث در پیشرفت های اخیر مثل هوش مصنوعی، کوانتوم و ... نقشی داشته یا نه؟
دانشیان: قطعا همینطوره. چون علوم همه به هم متصله و هر یافته ای به یک بخشی می تونه به بقیه کمک کنه. خیلی از زمینه هایی که برای اولین بار پیدا شدن کسی فکر نمی کرد یک روزی بتونه چقدر کاربرد در جاهای دیگه داشته باشه.
دانشیان: اما تو فیزیک کوانتوم تا اونجایی که من اطلاع دارم این قضیه به صورت مستقیم استفاده نمی شه. اما محیط ها و ابزارها و اشیاهای دیگه ای لازمه که خلق بشه که مفاهیم کوانتوم و فیزیک درش ایجاد بشه. بعد از ساخته شدن اون سیستم حالا موقع محاسبات از این قضیه استفاده می شه.
مثلا فیزیک کوانتوم سیستم هاشون رو در یک فضای حالت تعریف می کنن. فضای حالت ابزار تعریفش همون هیلبرت ریاضیه. فضای هیلبرت وقتی بحث بردارها رو انجام می دید فیثاغورث مطرحه و یا وقتی بحث انتقال و یا مصرف انرژی میشه. مثلا فرض کنید در فضای هیلبرت دو تا بردار باشه، عمود بر هم باشن که اگر بخوایم از ابتدای یک بردار به انتهای بردار دیگه یک نقطه رو منتقل کنیم میزان انرژی لازم و یا کار انجام شده، مباحثی هستن که احتیاج به این بحث داریم.
راوی: آیا قضیه فیثاغورث تو زمینه هوش مصنوعی و اکتشافات فضایی هم تاثیر مستقیم داشته؟
دانشیان: فکر نمی کنم قضیه فیثاغورث به طور مستقیم بتونه ظاهر بشه. چون این قضیه مال ۲ هزار ۶۰۰ سال پیشه و این قضیه اکثر خروجی ها و محصولاتی که می تونسته داشته باشه رو توی این دوران از خودش نشون داده. اومده خودش رو در هندسه تحلیلی و مثلثات کروی و الگوریتم ها و خیلی جاهای دیگه نشون و بروز داده. حالا به یک بلوغی رسیده و نبایستی فکر کنیم که این یک پدیده نوظهوره و می خواد بعدها مرتب شاخه های خودش رو نشون بده. اهمیت خودش رو نشون داده و کارکرد خودش رو نشون داده و الان هم در خیلی از جاها حضور داره و خودش رو نشون می ده.
راوی: چرا استفاده از مفاهیم قدیمی ریاضی مثل قضیه فیثاغورث تو کاربردهای مدرن و پیشرفته مثل اکتشافات فضایی کمتر شده؟
دانشیان: چیزی که ما باید دنبالش بگردیم اینه که محصولات این و زنجیره تولیدی که از اون شروع شده و پیش اومده چه نقشی خواهد داشت و طبیعیه که خواهد داشت و شکی نیست. ریاضیات در ابتدای کار گفتم که آقای تورینگ هوش مصنوعی رو مطرح کرده و ماشین های تورینگ و ماشین های رمز رو ساخته و رمزگشا رو معرفی کرده اما همه اینها از سرچشمه باستانی میاد که ساختن. وگرنه علم الان انقدر پیشرفت کرده و مفاهیم بسیار بسیار دقیق تر اومده که دیگه برای این ابزار قدیمی با اینکه باارزشه و مهمه و خیلی چیزا رو داشته ولی مستقیما بتونه کاری کنه بعید می دونم. الان در دوره ای هستیم که با هندسه های اقلیدسی و هندسه های کروی سر و کار داریم. خیلی از مفاهیم بسیار بسیار پیشرفته که در مجال صحبت نمیاد و نیاز به مفاهیم خیلی فنی و تخصصی داره و قضیه فیثاغورث در زمان خودش بسیار بسیار باارزش و پایه ای بوده که تونسته آثار خوبی از خودش به جا بزاره و من بعید می دونم که در اکتشافات فضایی و یا چیز دیگه ای از این محصول قدیمی چیز جدیدی بشه ازش استخراج کرد.
راوی: بسیار خب. هر چقدر که بیشتر راجع به فیثاغورث و قضیه اش صحبت می‌کنیم بیشتر به شگفتی های اون پی میبریم. شاید خیلی از ما قبل از این تنها تصوری که از ریاضیات داشتیم این بود که مجموعه ای از فرمول‌ها و عدده اما اگه بخوایم راجع به هر قضیه اون بیشتر بدونیم می‌بینیم که چه تاریخچه و چه داستان هایی پشت هر کدوم از اونها هست. در واقع میتونیم ریاضیات رو زبانی بدونیم که به کمک اون میتونیم دنیا رو بهتر بفهمیم و ارتباطات عمیق‌تری رو کشف کنیم.
پایان‌بندی
تو این اپیزود خیلی چیز های با ارزشی یادگرفتیم. فهمیدیم که فیثاغورث نه تنها یک ریاضیدان برجسته، بلکه یکی از پدران بنیان گذار دانش ریاضیاتیه که امروزه می‌شناسیم. خیلی از اصول مهندسی و مفاهیم بنیادی ریاضی که ما امروز از اونها بهره میبریم از دستاوردها و تفکرات نوآورانه اون سرچشمه گرفته. بدون تلاش های پیگیرانه فیثاغورث و اصرار بر استفاده از استدلال‌های منطقی و مفروضات دقیق، خیلی از پیشرفت‌های علمی و مهندسی که امروز به اونها دست یافتیم ممکن نبود. به طور خلاصه ما وامدار فیثاغورث هستیم.
در آخر از میهمانان عزیز این اپیزود بسیار سپاسگزارم که ناقل این مفاهیم و این مطالب بسیار ارزشمند بودند و ما رو با دنیای پر از شگفتی ریاضیات آشنا کردن.
مهمونای این اپیزودمون:
دکتر بهروز دانشیان، دکتری ریاضی کاربردی از دانشگاه آزاد واحد علوم و تحقیقات
دکتر حسن حقیقی، دانشیار دانشگاه خواجه نصیرالدین طوسی
و دکترحسین نراقی، عضو هیئت علمی دانشگاه پیام نور
بعد از موسیقی برمی‌گردم و چند نکته دیگه می‌گم که خوبه بدونید.
کال تو اکشن
راوی: حتما یادتون باشه صفحات ما را در شبکه‌های اجتماعی دنبال کنید و تاکید می‌کنم برامون کامنت بذارید تا نظراتتون رو بدونیم. می‌تونید این پادکست رو با جستجوی کلمه ترمینولوژی به فارسی در تمام پادگیرها مثل کست باکس و شنوتو پیدا کنید. ما هر سه‌شنبه یه اپیزود جدید منتشر می‌کنیم.
البته در سایت خبرگزاری دانشگاه آزاد به آدرس آنا دات آی آر هم بخشی به اسم پادکست یا صوت داریم. اونجا هم می‌تونید هم مجموعه ترمینولوژی و هم بقیه پادکست‌های ما رو گوش بدین.
اگه به موضوعات علمی علاقه دارین، پادکست «آنالوگ» هم میتونه براتون جالب باشه.
یه نکته جالب اینه که در سایت خبرگزاری مطالب مفیدی در مورد هر اپیزود هست. عکس‌ها، فیلم و صداهایی داریم که فقط اونجا بارگذاری میشه. تاکید می‌کنم محتوای ما روی پلتفرم‌های تلگرام، اینستاگرام و یوتیوب یه جور نیستن و با هم متفاوتن. پس اگر خواستین بیشتر بدونید به همه آدرس‌های ما در شبکه‌های اجتماعی سر بزنید.
در کامنت‌ها می‌تونید به ما بگید کلمه بعدی که دوست دارین راجع بهش بشنوید چیه.
معرفی عوامل
راوی: مثل همیشه، در این بخش می‌خوام از تمامی عواملی که در تولید این پادکست به ما کمک کردن تشکر کنم. مسلما کسایی هم هستن که به ما کمک کردن و اسمشون اینجا نیومده. از اونها هم ممنونیم.
راوی: ستاره مرادی
نویسنده: الهه رزاقی‌ها
هماهنگی تولید و ثبت تایم کد: حانیه محبی‌زاده
طراحی لوگو: سید محمد حسن‌زاده علوی‌نژاد
عکس: علی احمدوند و عباس تاجیک يار
ویراستار و مشاور سناریو: محمد وحیدی
مشاور تولید: مهندس علی ورمزیار
کارگردان و تهیه کننده: یاسر نظیفی گیلوان
در نهایت تشکر ویژه دارم از شما شنوندگان این پادکست، که با معرفی پادکست ترمینولوژی به علاقه‌مندای علم، به ما انگیزه میدین تا با قدرت ادامه بدیم.
خدا نگهدار تا اپیزود بعدی.
#قضیه_فیثاغورث
#ریاضیات
#هندسه
#فیثاغورث
#پادکست_ترمینولوژی
#تاریخ_ریاضیات
#اعداد
#فیلسوف_ریاضیدان
#هندسه_اقلیدسی
#ریاضیات_کاربردی
انتهای پیام/